🔀 Ángulos con dos paralelas y una secante
Cuando una secante corta dos paralelas se forman 8 ángulos con estas relaciones:
| Tipo | Pares | Relación |
|---|---|---|
| Opuestos por el vértice | 1-3, 2-4, 5-7, 6-8 | Iguales |
| Correspondientes | 1-5, 2-6, 3-7, 4-8 | Iguales |
| Alternos externos | 1-7, 2-8 | Iguales |
| Alternos internos | 3-5, 4-6 | Iguales |
| Cointerior (mismo lado) | 3-6, 4-5 | Suplementarios (180°) |
📐 Suma de ángulos de un triángulo
La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
Demostración: trazamos una recta paralela al lado opuesto por el vértice superior. Los ángulos alternos internos coinciden con los de la base, y los tres juntos forman 180°.
🔷 Ángulos en polígonos
// n = número de lados
| Polígono | n | Suma | Ángulo (regular) |
|---|---|---|---|
| Triángulo | 3 | 180° | 60° |
| Cuadrado | 4 | 360° | 90° |
| Pentágono | 5 | 540° | 108° |
| Hexágono | 6 | 720° | 120° |
| Octógono | 8 | 1080° | 135° |
⭕ Ángulos en la circunferencia
// la mitad del ángulo central
Caso especial: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90° (abarca un arco de 180°).
Dos ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales.
📏 Teorema de Tales
Cuando dos o más rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, determinan sobre ellas segmentos proporcionales.
🔺 Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si tienen:
- Lados proporcionales: a/a' = b/b' = c/c' = k (razón de semejanza)
- Ángulos respectivamente iguales: Â = Â', B̂ = B̂', Ĉ = Ĉ'
Criterio práctico: Si dos ángulos son iguales, el tercero también lo es → los triángulos son semejantes.
↗️ Triángulos en posición de Tales
Dos triángulos están en posición de Tales cuando:
- Comparten un ángulo (vértice común A)
- Los lados opuestos a ese ángulo son paralelos
Dos triángulos en posición de Tales son semejantes. Y dos triángulos semejantes se pueden poner en posición de Tales.
☀️ Aplicación práctica: sombras
En un mismo instante, objetos verticales y sus sombras forman triángulos rectángulos semejantes:
Esta razón es constante en un mismo instante del día para cualquier objeto en el mismo lugar.
🗺️ Definición de escala
// es la razón de semejanza
Una escala 1:200 significa que 1 cm en el plano = 200 cm = 2 m en la realidad.
📊 Escalas habituales
| Aplicación | Escala típica |
|---|---|
| Plano de vivienda | 1:50 a 1:200 |
| Mapa de ciudad | 1:10.000 a 1:20.000 |
| Mapa de país | 1:1.000.000 a 1:20.000.000 |
| Microscopía | 10.000:1 (ampliación) |
🔄 Cómo operar con escalas
Si escala 1:500 y en plano mides 4 cm → Real = 4 × 500 = 2000 cm = 20 m
Si escala 1:500 y la pared real mide 6 m = 600 cm → Plano = 600/500 = 1,2 cm
Ambas medidas en las mismas unidades. Simplifica la fracción obtenida.
📐 El teorema
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
// a = hipotenusa, b y c = catetos
Cateto desconocido: b = √(a² − c²)
Hipotenusa: a = √(b² + c²)
🔍 Clasificar un triángulo con sus lados
Dados los lados a ≥ b ≥ c (a es el mayor):
| Si... | El triángulo es... |
|---|---|
| b² + c² = a² | Rectángulo |
| b² + c² > a² | Acutángulo (todos agudos) |
| b² + c² < a² | Obtusángulo (un ángulo obtuso) |
Ternas pitagóricas clásicas: (3,4,5) · (5,12,13) · (8,15,17) · (7,24,25) · (6,8,10)
📐 Aplicaciones de Pitágoras en polígonos regulares
| Polígono | Apotema (a) | Radio (r) | Diagonal (d) |
|---|---|---|---|
| Triángulo equilátero (lado l) | a = (√3/6)·l | r = (√3/3)·l | — |
| Cuadrado (lado l) | a = l/2 | r = (√2/2)·l | d = √2·l |
| Hexágono regular (lado l) | a = (√3/2)·l | r = l | d = 2l |
| Octógono regular (lado l) | a = 1,2071·l | r = 1,3066·l | — |
| Pentágono regular (lado l) | a = 0,6882·l | r = 0,8507·l | d = φ·l ≈ 1,618·l |
🧮 Estrategia general
Cuando la altura traza dos triángulos rectángulos y no conocemos dos lados de ninguno:
Nombramos la incógnita adecuada (p.ej. x = proyección de un cateto)
Aplicamos Pitágoras a cada triángulo rectángulo → sistema de 2 ecuaciones
Restamos las ecuaciones para eliminar la h² y obtener x
Sustituimos x para calcular h
📋 Ejemplo resuelto
Triángulo de lados 4, 6 y 8 cm. Hallar la altura h sobre el lado 8:
(8−x)² + h² = 6² → h² = 36 − (8−x)²
Restando: 16−x² = 36−(8−x)²
→ 16x = 64+16−36 = 44 → x = 2,75
→ h² = 16 − 2,75² → h ≈ 2,9 cm
🏛️ Fórmula de Herón (triángulo con sus tres lados)
Útil cuando no conocemos la altura pero sí los tres lados a, b, c:
Ejemplo: Triángulo de lados 11, 13 y 20 cm → s = 22 → A = √(22·11·9·2) = √4356 = 66 cm²
⭕ Círculo
r = radio de la circunferencia
🍕 Sector circular
α = ángulo en grados
🔘 Corona circular
R = radio mayor, r = radio menor
🥚 Elipse
a = semieje mayor, b = semieje menor
📐 Segmento de parábola
a = altura, b = base del segmento
🔵 Segmento circular
Zona entre una cuerda y el arco que abarca:
Para α = 60° y r = 12 cm: sector = π·144·60/360 = 75,4 cm² · triángulo equilátero (h = 10,4 cm) = 62,4 cm² · segmento = 13 cm²
Aplica las fórmulas de ángulos en polígonos regulares con n = 12.
- Suma de ángulos interiores: S = 180° × (12 − 2) = 180° × 10 = 1800°
- Ángulo interior: α = 1800° / 12 = 150°
- Ángulo central: β = 360° / 12 = 30°
- Comprobación: ángulo interior + ángulo central = 150° + 30° = 180° ✓
Recuerda que el ángulo inscrito = arco abarcado / 2.
- Medida angular de cada arco: 360° / 8 = 45°
- Arco abarcado por 3 segmentos: 3 × 45° = 135°
- Ángulo inscrito = 135° / 2 = 67,5°
- Razón de semejanza (triángulos semejantes de sombras): altura / sombra = constante
- 4 / 2,4 = h / 15
- h = (4 × 15) / 2,4 = 60 / 2,4 = 25 m
- Longitud real: 5,6 cm × 250 = 1400 cm = 14 m
- En el plano: 7,5 m = 750 cm → 750 / 250 = 3 cm
- Diagonal: d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 cm
- Área: A = 9 × 12 = 108 cm²
- s = (7 + 15 + 20) / 2 = 42 / 2 = 21
- A = √[21 × (21−7) × (21−15) × (21−20)] = √[21 × 14 × 6 × 1] = √1764 = 42 cm²
- Área del semicírculo: (π × 10²) / 2 = 50π ≈ 157,08 cm²
- Área del rectángulo: 16 × 6 = 96 cm²
- Área coloreada (semicírculo − rectángulo) = 157,08 − 96 = ≈ 61,08 cm²
Traza la altura y forma dos triángulos rectángulos.
- Diferencia de bases: 30 − 18 = 12 cm (suma de los dos segmentos base)
- Llama x al segmento bajo el lado de 10 y (12−x) al del lado 14:
- x² + h² = 10² y (12−x)² + h² = 14²
- Restando: x² − (12−x)² = 100 − 196 → 24x − 144 = −96 → 24x = 48 → x = 2
- h² = 100 − 4 = 96 → h = √96 ≈ 9,8 cm
- Área = (30 + 18) / 2 × 9,8 = 24 × 9,8 = 235,2 cm²
- Área del sector: π × 9² × 120/360 = π × 81 × (1/3) = 27π ≈ 84,82 cm²
- Triángulo formado (isósceles con α=120°, lados = 9 cm):
- h (altura al lado opuesto) = 9 × sin(60°) = 9 × (√3/2) ≈ 7,79 cm
- base = 2 × 9 × sin(60°) = 9√3 ≈ 15,59 cm → Area triángulo = (15,59 × 7,79)/2 × ... = (1/2) × 9² × sin(120°) = 40,5 × (√3/2) ≈ 35,07 cm²
- Área segmento = 84,82 − 35,07 = ≈ 49,75 cm²
- Apotema: a = (√3/2) × l = (√3/2) × 8 = 4√3 ≈ 6,928 cm
- Perímetro: P = 6 × 8 = 48 cm
- Área: A = (P × a) / 2 = (48 × 4√3) / 2 = 96√3 ≈ 166,28 cm²
- Diagonal mayor: En el hexágono regular el radio = lado, por tanto d = 2 × r = 2 × 8 = 16 cm
Consejo de estudio: Intenta resolver cada ejercicio antes de ver la solución. Si te atascas, revisa las fórmulas del apartado correspondiente y vuelve a intentarlo. ¡La práctica es la clave!